Teorema Pythagoras berbunyi pada
suatu segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat
sisi-sisi lainnya. Secara umum, jika segitiga ABC siku-siku di C maka teorema
Pythagoras dapat dinyatakan
.
Teorema Pythagoras ini adalah teorema yang sangat terkenal. Teorema ini akan sering digunakan dalam menghitung luas bangun datar. Selain digunakan dalam perhitungan pada bangun datar, perhitungan pada dimensi 3 atau yang lain juga sering menggunakan teorema Pythagoras. Banyak buku-buku menuliskan teorema ini sebagai
. Dengan c adalah sisi miring.
Bukti dari teorema ini sangat bermacam-macam. Sangat banyak cara untuk membuktikan teorema Pythagoras ini. Di sini akan diberikan beberapa bukti teorema Pythagoras. Dari bukti yang sangat mendasar sampai bukti yang cukup rumit. Kebanyakan bukti teorema Pythagoras adalah pengembangan dari bukti-bukti inti (bukti-bukti dasar).
Teorema Pythagoras ini adalah teorema yang sangat terkenal. Teorema ini akan sering digunakan dalam menghitung luas bangun datar. Selain digunakan dalam perhitungan pada bangun datar, perhitungan pada dimensi 3 atau yang lain juga sering menggunakan teorema Pythagoras. Banyak buku-buku menuliskan teorema ini sebagai
Bukti dari teorema ini sangat bermacam-macam. Sangat banyak cara untuk membuktikan teorema Pythagoras ini. Di sini akan diberikan beberapa bukti teorema Pythagoras. Dari bukti yang sangat mendasar sampai bukti yang cukup rumit. Kebanyakan bukti teorema Pythagoras adalah pengembangan dari bukti-bukti inti (bukti-bukti dasar).
Bukti 1
Disediakan 4 buah segitiga
siku-siku. Perhatikan gambar di atas. 4 segitiga di atas adalah segitiga yang
sama. Mempunyai sisi-sisi a, b dan c. dan sisi c merupakan sisi miring dari
segitiga tersebut. Ketiga segitiga disampingnya adalah hasil rotasi 90, 180 dan
270 derajat dari segitiga pertama.
Luas masing-masing segitiga yaitu
. Sehingga luas 4 segitiga tersebut adalah
.
Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar berikut.
Luas masing-masing segitiga yaitu
Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar berikut.
Perhatikan gambar hasil susunan 4 segitiga tersebut. gambar tersebut membentuk sebuah persegi dengan sisi c. dan didalamnya ada persegi kecil. Panjang sisi persegi kecil tersebut adalah
Secara langsung kita dapat menentukan luas persegi besar tersebut, yaitu
Bukti 2
Perhatikan gambar. Gambar tersebut adalah gambar 2 persegi. Persegi yang besar adalah sebuah persegi yang mempunyai panjang sisi a, dan persegi kecil mempunyai panjang sisi yaitu b.
Luas persegi yang besar tentunya adalah
Kedua persegi tersebut kita gabungkan. Dan kita buat garis sedemikian sehingga seperti pada gambar. Sisi c menjadi sisi miring dari segitiga tersebut. kemudian kita potong segitiga-segitiga tersebut. dan kita pindahkan ke bagian atas dan samping kanan seperti pada gambar berikut.
Luas persegi dengan sisi c tersebut tentunya adalah
Bukti 3
Gambar tersebut adalah gambar sebuah trapesium yang dibentuk dari 3 segitiga. Luas trapesium tersebut adalah
Luas yang dihitung adalah tetap.
Yaitu bentuk trapezium tersebut. sehingga haruslah kedua luas yang dicari
dengan langkah yang berbeda itu harus sama. Diperoleh,
Pembuktian Teorema Pythagoras
Teorema
Pythagoras merupakan peninggalan dari Pythagoras yang penerapannya banyak
digunakan hingga saat ini. Teorema ini menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari
sebuah segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya
(sisi siku-sikunya). Secara matematis teorema pythagoras ditulis sebagai c2
= a2 + b2 dimana a
dan b mewakili panjang kedua sisi siku-sikunya dan c mewakili
panjang hipotenusanya. Dalam bentuk geometri, Teorema Pythagoras dapat dinyatakan
sebagai berikut.
Pada
suatu segitiga siku-siku, luas persegi yang sisinya adalah hipotenusa sama
dengan jumlah luas persegi yang sisi-sisinya adalah sisi siku-siku dari
segitiga siku-siku tersebut.
Dengan kata lain:
Luas Persegi III = Luas
Persegi I + Luas Persegi II
Ada banyak bukti yang menunjukkan kebenaran
teorema pythagoras. Beberapa diantaranya adalah bukti pythagoras yang
dikemukakan oleh Pythagoras, Bhaskara, Garfield, dan Euclid.
Berikut ini beberapa pembuktian dari teorema
pythagoras :
1. Bukti dari Bhaskara
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada
karya Bhaskara (matematikawan India sekitar abad X). Bangun ABCD di bawah ini
berupa bujur sangkar dengan panjang sisi c. Di dalamnya dibuat empat
buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS +
4 x Luas ABQ = Luas ABCD
(b
– a)2 + 4 x ½ .a.b = c2
b2
– 2ab + a2 + 2ab = c2
a2 + b2 = c2 (terbukti)
2. Bukti dari J.A. Garfield
Pembuktian berikut ini berasal dari J.A.
Garfield tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan
dua cara, sehingga kita dapat membuktikan teorema pythagoras berikut ini.
Luas trapesium
= ½ x (sisi alas + sisi atas) x
tinggi = ½ x (a + b) x (a + b)
Di lain pihak, Luas trapesium = 2 x
½. ab + ½. c2
Sehingga,
½ x (a + b) x (a + b) = 2 x
½. ab + ½. c2
a2 + 2ab
+ b2 = 2 ab + c2
a2 + b2 =
c2 (terbukti)
3. Bukti dari Euclides
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh
Euclides. Perhatikan gambar di bawah ini.
DBQE =
NLBD ………………. kedua bangun kongruen
=
MLBC ……………… alas sama BL dengan tinggi tetap BD
=
SRBC ……………… alas sama BC dengan tinggi tetap BR
=
a2
ADEP =
KNDA ………………. kedua bangun kongruen
=
KMCA ……………… alas sama AK dengan tinggi tetap AD
=
UTCA ……………… alas sama AC dengan tinggi tetap AU
=
b2
c2
= DBQE + ADEP
c2
= a2 + b2 (terbukti)
Beberapa
pembuktian yang lainnya, seperti bukti dari sekolah pythagoras, bukti dengan
menggunakan garis tinggi dan sifat segitiga sebangun, bukti menggunakan
transformasi, bukti menggunakan perbandingan, dan lain sebagainya
Tidak ada komentar:
Posting Komentar