Kuantor Universal, Kuantor Eksistensial, Negasi dan Pernyataan Berkuantor

1.               Kuantor Universal

Kuantor universal yang disebut kuantor umum.Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”.Ciri – Ciri Kuantor Universal :

·                     Sifat  P  dimiliki oleh setiap X dalam semesta pembicaraannya.

·                     ( ∀ x), P(x)

·                     Sesuatu bernilai benar untuk semua individualnya.

Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :

“Semua gajah mempunyai belalai”

Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis :

G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”. Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.

Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain yang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara universal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris, misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”, “each people”, dan lain-lainnya.

Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka ditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika ditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka penulisan yang lengkap adalah:

(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.

Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :

(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”.

Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal:

Perhatikan pernyataan berikut ini :

“Semua mahasiswa harus rajin belajar”

Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :

Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis: mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)

Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))

Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒ B(x))

Contoh

”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.

Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)

(∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))

(∀x)(T(x) ⇒A(x))

”Semua artis adalah cantik”.

Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).

(∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))

(∀x)(A(x) ⇒ C(x))

Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A >5 .Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10.Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu.

A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10

Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi

A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi

A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi

A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi

Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.

2.               Kuantor Eksistensial

Simbol $  dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada  x$himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka (  Î A) p(x) atau  x! p(x) atau$  x p(x) adalah suatu pernyataan yang$ dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol  ! Untuk$ menyatakan “Ada hanya satu”.

Contoh

“Beberapa orang rajin beribadah”.

Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:

”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.

(∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))

(∃x)(O(x) ∧ I(x))

“Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.

“Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.

(∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))

(∃x)(B(x) ∧￢K(x))

Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).

(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x^2=x”. (∃x ∈ B)(x^2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x^2=x.

Misal x= -1, maka 〖-1〗^21 Tidak memenuhi

x= 1, maka 〖(1)〗^2=1 Memenuhi

Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.

3.   Diagram Venn dari Pernyataan Berkuantor

4.   Negasi dan Pernyataan Berkuantor

INGKARAN DARI PERNYATAAN BERKUANTOR.

Dari materi-materi yaang telah dibahas ingkaran dari sebuah pernyataan paling kurang ada tiga hal yang perlu ingat kembali yaitu:

a) Ingkaran/negasi dari pernyataan p,dilambangkan dengan ~p

b) Jika p pernyataan yang bernilai benar maka ~p bernilai salah

c) Jika p pernyataan yang bernilai salah,maka ~p bernilai benar.

Ketentuan-ketentuan diatas juga berlaku Apabilah p merupakanpernyaataan berkuantor Universal maupu Eksistensial.

1.      Ingkaran dari pernyataan Berkuantor Universal.

Contoh

Diketahui pernyataan berkuantor Universal

P: semua bilangan prima adalah bilangan Asli ,tentukan ~p serta nilai kebenaranya.

Jawab:

P: semua bilangan prima adalah bilangan Asli merupakan pernyataan benar”sekurang-kurangnya ada satu bilangan prima yang bukan bilangan Asli”dengan demikian ingkaran P adalah:

~p: ”tidak semua bilangan prima adalah bilangan asli”atau

~p: ”Beberapa bilangan prima bukan bilangan asli”

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan Berkuantor Universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial,secara umum,ingkaran pernyataan berkuantor Universal dapat ditentukan sebagai berikut:

(dibaca Ingkaran dari semua x,yang berlaku P(x)ekuivalen dengan ada x yang bukan P(x)).

2.      Ingkaran dari pernyataan Berkuantor Eksistensial.

Diketahui pernyataan berkuantror Eksistensial

P: beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”Tentukan ~p serta nilai kebenaranya?

Jawab:

P:beberapa bilangan prima adalah bilangan genap merupakan pernyataan benar” sekurang-kurangnya ada sebuah bilangan prima yang merupakan bilangan genap “sehingga ingkaran p adalah:
~p:”semua bilangan prima bukan bilangan genap”.

~p:”tidak ada bilangan prima yang bilangan genap”

~p:”jika x adalah bilangan prima,maka x bukan bilangan genap”

Jadi jelas bahwa ~p bernilai salah,maka berdasarkan contoh diperoleh ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah: ,dibaca ingkaran dari “ada x berlaku P(x)”ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)”